原问题 ：从狭义相对于论到量子力学，从狭《张背阴的义相物理课》探究若何患上到克莱因-戈尔登方程

在以前的课程中，张背阴已经合计出白矮星是对于的物到克存在品质下限的，即钱德拉塞卡极限，论到量力理课莱因而这一品质下限的学张存在是由于粒子的相对于论效应。那末理当若何形貌一个相对于论性的背阴粒子？以前对于相对于论粒子的k空间的合成又是否正当？9月22日 ，《张背阴的探究物理课》第一百七十五期开播 ，搜狐独创人 、若何董事局主席兼首席实施官 、患上物理学博士张背阴坐镇搜狐视频直播间，从狭对于这些下场妨碍了钻研式的义相探究，来教学、对于的物到克复原历史上克莱因-戈尔登（Klein-Gorden）方程提出的论到量力理课莱因历程，揭示了物理学的学张思辩性与立异性。

白矮星的背阴品质下限

张背阴首先回顾了以前对于白矮星品质下限的合计历程。失调形态下，白矮星中间的压强有如下关连

其中 ，G是万有引力常数 ，R是白矮星半径
 ，M是白矮星总品质
。另一方面，当不思考相对于论效合时，白矮星中间处电子的简并压为

其中beta是一个与M、R无关的常数
。这就象征着随着R减小，电子简并压增大的速率要比白矮星压强增大的速率更快 ，因此会患上侵蚀误的论断
：不论白矮星的品质有多大 ，电子简并压都可能抵抗住引力导致的塌缩。这与实际情景不符 ，因此就必需要思考相对于论效应 。

思考了相对于论效应后，电子的简并压依然可能看做是由电子碰撞发生的动量修正所组成的。因此有压强的表白式为：

但此时电子的品质是速率的函数，借助对于非相对于论粒子k空间的合成，压强会是在k空间的一个积分：

以前的课程中，张背阴已经合计患上到了相对于论情景下，电子简并压最终的表白式 ：

alpha是以前直播课介绍的系数，可能取为2，mp是质子品质。这个服从剖析了白矮星存在一个品质下限。可是张背阴指出  ，当患上到这样的论断时
 ，用了两个紧张的条件 ：一 、相对于论的色散关连。二 、相对于论粒子的k空间与非相对于论粒子不同
 。第一条已经被普遍以为是精确的
，但第二条是否精确依然需要魔难。以是需要从相对于论粒子的行动方程入手来看第二条是否正当。形貌相对于论逍遥粒子行动纪律的方程便是克莱因-戈尔登方程 ，为了体味这一方程提出时物理学家们的思辩历程，张背阴向导巨匠回顾了相对于论的色散关连以及薛定谔方程是若何提出的
。

张背阴合计相对于论情景下电子简并压

相对于论色散关连

张背阴从4维矢量入手来品评辩说相对于论情景下物体行动的纪律 。假如地面参考系为S系，相对于粒子行动的参考系为S’系 ，不失艰深性，可能假如粒子沿着x轴倾向行动
，这样粒子的位置矢量就有如下方式 ：

粒子的4维速率是4维位置矢量对于原时（故无意）的导数 ：

那末在S’系中，同样可能写出粒子的4速 ：

洛伦兹变更的变更矩阵为
：

其中

经由洛伦兹变更可能分割两个参考系下粒子的4维位置矢量与4速：

用同样的方式可能界说粒子的4动量：

由于4动量总是归负一的，S系与S’系间就有如下关连：

双方同时乘上光速c的平方后，就患上到了相对于论情景下的色散关连：

但若何看出上式右侧的E是能量呢？张背阴指出可能经由对于E做一个泰勒睁开来看出。当粒子速率很小，即beta趋于零时有 ：

前两项分说是粒子行动品质对于应的能量以及动能，这么看来E简直具备能量的意思
。

对于光这一极审察对于论的客体，它的速率v便是光速c，由

可知，光的行动品质（故有品质）为0。张背阴提到，这不象征着光可能行动，相同，行动品质为0正剖析了不存在一个参考系使患上光速为0，这里行动品质是一个部份的名词
，只是粒子的一个参数
。这样光的色散关连为：

张背阴推导相对于论色散关连

猜出薛定谔方程

对于薛定谔方程方式的预料用到了爱因斯坦光电效应的论断
，以及上边推出的光的色散关连 ：

另一方面，光也是一种电磁波 ，好比平面波就有下面的方式：

知足晃动方程：

薛定谔预料，对于具备量子性子的粒子行动的形貌也是经由一个晃动方程，基于牛顿力学的色散关连：

并将动量与能量做如下代换 ：

这时就猜出了逍遥粒子的薛定谔方程：

它的解与电磁波相似，有如下方式：

张背阴推导薛定谔方程

克莱因-戈尔登方程

有了薛定谔方程的履历，上边已经分说处置了光的色散关连，非相对于论粒子的色散关连，下边惟独要推广到艰深粒子的相对于论色散关连即可  。尽管张背阴提到，这还需要用到德布罗意（de Broglie）提出的物资波假如 ，即每一个粒子，都具备相似光子的波长与动量间的关连：

模拟薛定谔的假如，做能量动量到算符的代换 ，就患上到了克莱因-戈尔登方程
：

张背阴提到
，可能直接运用带有平方的色散关连  ，而不用思考如下方式的带有根号的色散关连 ：

尽管 ，对于这一方式的钻研便是狄拉克的使命 ，他由此推出了狄拉克方程  。

到此
，张背阴揭示了昔时物理学家是若何预料出相对于论粒子行动方程的。与此同时
，有了克莱因-戈尔登方程即将可能患上悉，对于白矮星品质下限的合计是公平的，由于相对于论粒子同样具备平面波的方式
，k空间因此是与非相对于论情景残缺不同的 。

张背阴推导克莱因-戈尔登方程

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